Propagação de vazões e balanço de massa nos trechos de rio do QUAL2K

Como descrito na documentação técnica do QUAL2K da EPA, o modelo divide o rio em trechos discretos (elementos de cálculo) e avança para jusante a partir do contorno de cabeceira. Em cada trecho, ele faz um balanço de massa conservativo para misturar a vazão de montante com as fontes pontuais e as fontes difusas antes de aplicar as reações cinéticas.

Algoritmo de propagação de vazões para jusante

A simulação avança em sequência da cabeceira (trecho 0) até o final do rio (trecho n). Em cada trecho $i$ , três passos são executados nesta ordem:

Figura 1: Avanço para jusante em três passos, em cada trecho

Passo 1: balanço de massa por mistura conservativa

A massa que entra no trecho $i$ vinda de todas as fontes a montante é somada e dividida pela vazão total, resultando nas concentrações da mistura:

C_{mix,k} = \frac{Q_{up} \cdot C_{up,k} + \sum Q_{ps} \cdot C_{ps,k} + \sum Q_{ds} \cdot C_{ds,k}}{Q_{total}}

em que:

$Q_{up}$ : vazão de montante, vinda do trecho $i-1$
$C_{up,k}$ : concentração de montante do constituinte $k$
$Q_{ps}, C_{ps}$ : vazão e concentração da fonte pontual
$Q_{ds}, C_{ds}$ : vazão e concentração da fonte difusa
$Q_{total} = Q_{up} + \Sigma Q_{ps} + \Sigma Q_{ds} - \Sigma Q_{abs}$

Entrada das fontes pontuais

As fontes pontuais representam lançamentos localizados, como o efluente de uma estação de tratamento de esgoto (ETE), a vazão de um tributário ou lançamentos industriais. Cada fonte pontual tem uma localização $x_{ps}$ (km) ao longo do rio e é atribuída ao trecho em que se encontra:

x_{dn,i-1} < x_{ps} \leq x_{dn,i}

Figura 2: Entrada de fontes pontuais e fontes difusas nos trechos do rio

Distribuição das fontes difusas

As fontes difusas (não pontuais) se distribuem ao longo de um intervalo de quilômetros do rio. A contribuição para cada trecho é proporcional ao comprimento de sobreposição entre o intervalo da fonte difusa e o trecho:

Q_{ds,i} = Q_{ds} \cdot \frac{L_{overlap}}{L_{ds}}

em que $L_{overlap} = \min(x_{ds,max}, x_{r,max}) - \max(x_{ds,min}, x_{r,min})$ e $L_{ds}$ é o comprimento total da fonte difusa.

Passo 2: reações cinéticas

Depois da mistura, as reações cinéticas de primeira ordem são aplicadas ao longo do tempo de percurso $\Delta t$ do trecho. Veja as páginas Decaimento da DBO e Ciclo do nitrogênio para as equações cinéticas detalhadas.

Passo 3: balanço de oxigênio dissolvido

A concentração final de OD é calculada pelo balanço entre as fontes (reaeração, fotossíntese) e os sumidouros (oxidação da DBO, nitrificação, demanda de oxigênio do sedimento ou SOD). Veja a página Balanço de OD.

Tempo de percurso e discretização espacial

O tempo de percurso em cada trecho determina por quanto tempo as reações cinéticas atuam sobre a água:

\Delta t = \frac{A_c \cdot L}{Q \cdot 86400} \quad \text{(dias)}

Trechos mais longos têm tempos de percurso maiores e mais decaimento cinético. A escolha da discretização em trechos afeta a resolução espacial dos resultados do modelo, mas não altera o balanço de massa total (que é conservativo).

Implementação em Python

pythonsimulation.py: laço de avanço para jusante

for i in range(1, nr + 1):
    reach = reaches[i]
    q_up = reaches[i - 1].get('q', 0)

    # Passo 1: mistura conservativa
    mass_in = [c * q_up for c in conc[i - 1]]
    q_total = q_up

    for ps in point_sources:
        if _in_reach(ps['xptt'], x_up, x_dn):
            q_ps = ps['Qptt']
            for k in range(num_vars):
                mass_in[k] += q_ps * ps['cpttMean'][k]
            q_total += q_ps

    c_mix = [m / q_total for m in mass_in]

    # Passo 2: cinética
    c_kin = apply_kinetics(c_mix, rates, reach, temp, trav_time)

    # Passo 3: balanço de OD
    c_kin[2] = calculate_do_balance(c_kin[2], ...)