Equação de Manning para escoamento em canais abertos no QUAL2K

O QUAL2K calcula a velocidade, a profundidade e a área da seção transversal de cada trecho usando a equação de Manning ou curvas-chave do tipo potência, como descrito na documentação técnica do QUAL2K da EPA. A equação de Manning é o método padrão e o mais usado em rios naturais com geometria conhecida. Os parâmetros hidráulicos calculados alimentam diretamente os cálculos do coeficiente de reaeração (em inglês) e da propagação de vazões (em inglês).

Equação de Manning

A equação de Manning relaciona a vazão $Q$ (m³/s) com a geometria do canal e a rugosidade:

Q = \frac{1}{n} \cdot A \cdot R^{2/3} \cdot S^{1/2}

Em que:

$n$ : coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional)
$A$ : área molhada da seção transversal (m²)
$R = A / P$ : raio hidráulico (m)
$P$ : perímetro molhado (m)
$S$ : declividade do fundo do canal (m/m)

Geometria da seção transversal trapezoidal

O QUAL2K representa o canal como uma seção transversal trapezoidal, com fundo plano de largura $B$ e dois taludes laterais (que podem ser diferentes) $ss_1$ e $ss_2$ :

Figura 1: Seção transversal de canal trapezoidal com os parâmetros indicados

Para uma dada profundidade de escoamento $y$ :

A = B \cdot y + \bar{ss} \cdot y^2

em que $\bar{ss} = (ss_1 + ss_2) / 2$ é a inclinação média dos taludes.

P = B + y \left( \sqrt{1 + ss_1^2} + \sqrt{1 + ss_2^2} \right)

Solucionador de profundidade por Newton-Raphson

Dada uma vazão conhecida $Q$ , a profundidade $y$ precisa ser encontrada de forma iterativa. O QUAL2K usa o método de Newton-Raphson para resolver:

f(y) = \frac{1}{n} \cdot A(y) \cdot R(y)^{2/3} \cdot S^{1/2} - Q = 0

A derivada é:

f'(y) = \frac{S^{1/2}}{n} \left[ \frac{5}{3} T \cdot R^{2/3} - \frac{2}{3} R^{5/3} \cdot \frac{dP}{dy} \right]

em que $T = B + (ss_1 + ss_2) \cdot y$ é a largura superficial e $dP/dy = \sqrt{1 + ss_1^2} + \sqrt{1 + ss_2^2}$ .

A iteração começa em $y_0 = 0.5$ m e converge em 5 a 10 iterações em canais típicos. A regra de atualização é:

y_{k+1} = y_k - \frac{f(y_k)}{f'(y_k)}

Grandezas derivadas

Conhecida a profundidade $y$ , os demais parâmetros hidráulicos decorrem diretamente:

U = \frac{Q}{A} \quad \text{(velocidade, m/s)}

t_{travel} = \frac{A \cdot L}{Q \cdot 86\,400} \quad \text{(tempo de percurso, dias)}

em que $L$ é o comprimento do trecho em metros.

Alternativa com curva-chave

Quando os coeficientes da curva-chave são informados, o QUAL2K usa relações do tipo potência no lugar da equação de Manning:

U = \alpha_1 \cdot Q^{\beta_1}

H = \alpha_2 \cdot Q^{\beta_2}

A área da seção transversal passa a ser $A = Q / U$ e a largura, $B = A / H$ . Esse método é usado quando há curvas-chave medidas em campo.

Valores típicos do n de Manning

Coeficientes de rugosidade de Manning para cursos d'água naturais

Tipo de canal	n (mínimo)	n (típico)	n (máximo)
Limpo, retilíneo, nível máximo	0,025	0,030	0,033
Limpo, sinuoso, com alguns poços	0,033	0,040	0,045
Lento, com vegetação e poços profundos	0,050	0,070	0,080
Muita vegetação, arbustos densos	0,075	0,100	0,150
Rios de montanha, seixos	0,030	0,050	0,070
Rios de montanha, matacões	0,040	0,070	0,100
Planície de inundação, pastagem	0,025	0,035	0,050
Planície de inundação, mata densa	0,100	0,120	0,160

Implementação em Python

pythonhydraulics.py: solucionador de profundidade por Newton-Raphson

def calculate_hydraulics(reach, geo_method):
    q_s = reach.get('q', 0)  # Vazão em m³/s
    n = reach.get('nm', 0.03)
    s = reach.get('s', 0.0001)
    bb = reach.get('BB', 1.0)
    ss1 = reach.get('SS1', 0.0)
    ss2 = reach.get('SS2', 0.0)
    ss_avg = (ss1 + ss2) / 2.0

    # Iteração de Newton-Raphson para a profundidade y
    y = 0.5  # estimativa inicial (metros)
    for _ in range(30):
        area = bb * y + ss_avg * (y ** 2)
        perim = bb + y * (sqrt(1 + ss1**2) + sqrt(1 + ss2**2))
        radius = area / perim
        f = (1/n) * area * radius**(2/3) * s**0.5 - q_s
        top_width = bb + (ss1 + ss2) * y
        df_dy = (1/n) * s**0.5 * (
            (5/3) * top_width * radius**(2/3) -
            (2/3) * radius**(5/3) * (sqrt(1+ss1**2) + sqrt(1+ss2**2))
        )
        dy = f / df_dy
        y = y - dy
        if abs(dy) < 1e-7:
            break

Equação de Manning para escoamento em canais abertos no QUAL2K