Autodepuração e curva de OD (Streeter-Phelps) em rios brasileiros: como escolher K1 e K2

O modelo de Streeter e Phelps foi publicado em 1925, a partir de estudos sobre a poluição do rio Ohio, nos Estados Unidos (A study of the natural purification of the Ohio River, Public Health Bulletin 146). Ele descreve a queda e a posterior recuperação do oxigênio dissolvido a jusante de um lançamento de matéria orgânica, a chamada curva de depleção de OD. Mais de cem anos depois, continua sendo o ponto de partida mais simples para um estudo de capacidade de autodepuração, aquele que a CONAMA 357/2005 exige para elevar os limites de DBO das classes 2 e 3 (art. 10, § 1º) e a CONAMA 430/2011 aceita para reduzir a remoção mínima de 60% de DBO (art. 16, I, g) ou ultrapassar os 120 mg/L de DBO de esgoto sanitário (art. 21, I, d).

As duas equações

O modelo junta duas cinéticas de primeira ordem: a desoxigenação, que consome a DBO remanescente L, e a reaeração, que repõe oxigênio na proporção do déficit D (a diferença entre o OD de saturação e o OD do rio).

dL/dt = -K1 x L
dD/dt =  K1 x L - K2 x D

D(t) = K1 x L0 / (K2 - K1) x [exp(-K1 t) - exp(-K2 t)] + D0 x exp(-K2 t)
tc   = 1 / (K2 - K1) x ln{ K2/K1 x [1 - D0 x (K2 - K1) / (K1 x L0)] }

L0 é a DBO última logo após a mistura, D0 o déficit inicial e tc o tempo crítico, em que o OD é mínimo. A distância crítica é tc vezes a velocidade média. Note que L0 é DBO última, e não a DBO5,20 que o laboratório entrega; a conversão é um passo do cálculo, não um detalhe.

K1 e Kd: desoxigenação no frasco e no rio

K1 é o coeficiente de desoxigenação medido no laboratório. No rio, a remoção de DBO costuma ser maior, porque inclui sedimentação da matéria orgânica e remoção pelo lodo de fundo; por isso se usa o coeficiente de decomposição no rio, Kd. Von Sperling (2007) traz as faixas típicas abaixo, em base e e a 20 °C, aqui como reproduzidas por Tonon (2014):

Quando não há medição, outra referência citada no mesmo trabalho é a relação de Kd com a profundidade H, atribuída à EPA (1985) e a Thomann e Mueller (1987): Kd = 0,3 x (H / 2,5)^(-0,434) para H até 2,5 m, e Kd = 0,3 d⁻¹ acima disso.

K2: as fórmulas e suas faixas de aplicação

K2 costuma pesar mais no balanço de OD do que Kd. Sem medição direta, ele é estimado por fórmulas hidráulicas, cada uma válida numa faixa de profundidade (H, em m) e velocidade (v, em m/s). As faixas abaixo são as de von Sperling (2007), também como reproduzidas por Tonon (2014), em base e e a 20 °C:

A regra prática: escolha a fórmula pela faixa em que o trecho está, e não pela que dá o resultado mais confortável. O exemplo a seguir mostra por quê.

Correção de temperatura

Os coeficientes são tabelados a 20 °C e corrigidos para a temperatura da água por K(T) = K(20) x θ^(T - 20). Os valores usuais, atribuídos à EPA (1987), são θ = 1,047 para Kd e θ = 1,024 para K2. A 25 °C, Kd cresce cerca de 26% e K2 cerca de 13%: com o calor, o consumo de oxigênio acelera mais do que a reaeração, e a saturação de OD ainda cai.

Exemplo resolvido

Um rio com 0,5 m³/s, OD de 7,0 mg/L, DBO5,20 de 2 mg/L e 25 °C recebe 0,08 m³/s de efluente com DBO5,20 de 80 mg/L, OD de 1,0 mg/L e 27 °C. O trecho a jusante tem profundidade média de 1,8 m e velocidade de 0,2 m/s. O rio é classe 2 (OD mínimo de 5 mg/L).

1. Mistura: vazão de 0,58 m³/s, temperatura de 25,3 °C, OD de 6,17 mg/L e DBO5,20 de 12,76 mg/L. A calculadora estima a saturação em cerca de 8,27 mg/L nessa temperatura, logo D0 = 2,10 mg/L.
2. K1: pela relação com a profundidade, Kd fica em torno de 0,35 d⁻¹ para H = 1,8 m. Para simplificar, usamos 0,35 d⁻¹ tanto para converter a DBO quanto para o decaimento no rio. A 25,3 °C, o decaimento fica em 0,446 d⁻¹.
3. DBO última: L0 = 12,76 / (1 - e^(-5 x 0,35)) = 15,44 mg/L. A conversão usa o coeficiente a 20 °C, porque a DBO5,20 foi medida a 20 °C.
4. K2: com H = 1,8 m e v = 0,2 m/s, só O'Connor e Dobbins está dentro da faixa. K2 = 3,93 x 0,2^0,5 / 1,8^1,5 = 0,728 d⁻¹ a 20 °C, ou 0,825 d⁻¹ a 25,3 °C.
5. Resultado: tempo crítico de 1,30 dia, a cerca de 22,5 km do lançamento, com OD mínimo de 3,59 mg/L. O OD fica abaixo de 5 mg/L entre os quilômetros 4,8 e 54,3, aproximadamente.

Conclusão: o lançamento não atende à classe 2 nessas condições. Agora veja o que acontece com fórmulas fora da faixa. Com Churchill e colaboradores (feita para velocidades a partir de 0,8 m/s), K2 cai para 0,393 d⁻¹ e o OD mínimo para 1,76 mg/L, a cerca de 33,5 km. Com Owens e colaboradores (feita para rios rasos), K2 = 0,608 d⁻¹ e o OD mínimo fica em 3,09 mg/L. A mesma carga, no mesmo rio, gera conclusões bem diferentes só pela escolha de K2.

Onde o Streeter-Phelps deixa de bastar

O modelo clássico considera só a DBO carbonácea e a reaeração. Ficam de fora a nitrificação (que também consome oxigênio), a fotossíntese e a respiração de algas e perifíton, a demanda de oxigênio do sedimento (SOD) e o ciclo diário de OD. Também supõe trecho homogêneo, sem novos lançamentos ou tributários. Quando o rio tem nutrientes em excesso, vários lançamentos ou forte variação de OD entre o dia e a noite, um modelo com mais processos, como o QUAL2Kw, passa a ser o caminho mais seguro.

Fontes consultadas

• Streeter, H. W.; Phelps, E. B. (1925). A study of the natural purification of the Ohio River. Public Health Bulletin 146, U.S. Public Health Service.
• Von Sperling, M. (2007). Estudos e modelagem da qualidade da água de rios. Belo Horizonte: DESA/UFMG (Princípios do tratamento biológico de águas residuárias, v. 7). Tabelas de K1, Kd e K2 citadas a partir de Tonon (2014).
• Tonon, K. (2014). Modelagem da qualidade da água utilizando os modelos Streeter-Phelps e QUAL-UFMG na bacia do rio Lambari, Poços de Caldas (MG). Dissertação de mestrado, UNIFAL-MG. Tabelas 1 e 4 e equações de Kd e θ.
• Resoluções CONAMA 357/2005 (art. 10, § 1º) e 430/2011 (arts. 16 e 21).